Soustraction : Quand la méthode pose problème
Il y a quelques semaines, à la fin d'une séance, j'échangeais avec une maman dont la petite fille est en CE1 et elle m'expliquait ne pas comprendre la méthode de la maîtresse pour la soustraction.
Nous avons donc demandé à sa fille de faire un exemple avec le calcul 52-27. J'ai recopié, ici, à l'identique, la production de cette élève :
A la lecture de cette ligne de calcul, mon cœur d'ancienne enseignante de mathématiques a saigné trois fois :
- la première parce que le symbole « ⇒ » a un sens précis en Mathématiques qui n'est pas respecté ici,
- la deuxième parce que ce « calcul » n’en est certainement pas un, et encore moins une soustraction,
- la troisième parce que je reçois des élèves en grande difficulté avec la notion de soustraction à laquelle ils ne donnent pas de sens comme ils peuvent le faire pour une addition ou une multiplication et parce que ce type de raisonnement ne fait qu’aggraver les choses.
Même l'erreur de calcul semble dérisoire au regard des approximations dont elle découle.
« Ce qui se conçoit bien s’énonce clairement. Et les choses pour le dire arrivent aisément. », Nicolas Boileau
Donner du sens pour faire la différence
Parmi les élèves que j’accompagne, il en est un auquel il m’est impossible de ne pas penser à l’écriture de cet article. Cet élève, en CM2, a des compétences assez remarquables en calcul : il fait très peu d’erreurs, effectue ses conversions sans tableau, parvient à mettre en place des stratégies de calcul astucieux pour certaines additions ou multiplications complexes mais il a un problème : la soustraction.
Le constat
En réalité, c’est bien plus qu’un problème : la soustraction est un peu la kryptonite de cet élève. Il ne sait absolument pas calculer une soustraction, quel que soit le calcul, la façon dont elle est présentée, qu’il s’agisse de calcul mental ou d’une résolution de problème, il n’y a rien à faire. Donnez-lui une soustraction et c’est le trou noir.
Pour d’autres élèves, au collège parfois, les difficultés sont bien plus insidieuses. Ils savent à peu près ce qu’est une soustraction et dans quel type de situations elle s’utilise mais les calculs ne sont pas toujours bons. Parfois, ils le sont. Et parfois, ils obtiennent même un résultat plus grand que le nombre de départ sans que cela ne les interpelle : pourquoi 103 – 37 ne pourrait-il pas faire 176 après tout ? Qui a décidé que ce n’était pas possible ? Certainement pas eux : l’avantage, quand on ne sait pas à quoi correspond une soustraction, c’est que tous les résultats sont bons.
Enseigner le sens
Dans ces différents exemples, il faut distinguer les difficultés de calcul des difficultés de raisonnement. Parfois, les deux se côtoient.
Pour écrire cet article, j’ai fait de nombreuses recherches pour tenter de comprendre et de savoir comment était enseignée la soustraction à l’école sur le plan du raisonnement et je n’ai trouvé qu’un seul site abordant le sujet alors qu’il s’agit, à mon sens, d’une question cruciale compte tenu des difficultés que les élèves rencontrent par la suite.
Plus que pour les autres opérations, la schématisation est un vrai outil pour faire comprendre que la soustraction permet de calculer une différence, un écart entre deux nombres ou deux quantités.
Ainsi, trois situations peuvent être représentées par un schéma simple comme celui-ci qui met en évidence cette idée d'écart et de différence :
- La soustraction pour calculer un reste : J'ai 34 bonbons, j'en mange 23. Combien m'en reste-t-il ?
- La soustraction pour calculer une différence : J'ai 34 bonbons, il m'en reste 23. Combien en ai-je mangé ?
- La soustraction pour calculer un écart : J'ai 34 bonbons, ma soeur en a 23. Combien ai-je de plus qu'elle ? Combien en a-t-elle de moins que moi ?
Soustraction ou addition à trous ?
Cette représentation ne pose qu’un seul problème, elle n’empêche pas d’enseigner la soustraction comme une addition à trous. Car c’est bien la difficulté que rencontre mon fameux élève de CM2 : il résout toutes les soustractions comme des additions à trous. Cela fonctionne bien sur des petits nombres (52-15) mais les limites sont vite atteintes sur des nombres plus grands (900-652), même lorsque les compétences en calcul sont intactes.
Et cela nous ramène à la technique enseignée en CE1 à cette petite fille qui trouve que 52-27=15. Il ne s’agit plus, là, d’enseigner la soustraction mais plutôt de proposer une technique de calcul astucieux par complément à la dizaine supérieure. Enseignée trop tôt, comme ici, elle est source d’erreurs (50-30 = 20 et non 10) et d’approximations dans le raisonnement.
Moi aussi, j’enseignais le calcul astucieux au collège. Cependant, il me semble important que ce soit un outil de différenciation, pour les élèves les plus solides, pour ceux qui ont déjà compris, pour ceux qui n’ont plus besoin de poser une soustraction.
L’astuce ne peut remplacer la technique et le raisonnement. Cet élève de CM2 sera fortement pénalisé au collège lorsque, dans les résolutions de problèmes, il posera une addition à trous plutôt qu’une soustraction.
Simplifier n'est pas aider
Pour moi, enseigner cette stratégie de calcul en CE1 est une façon de contourner la difficulté que représente l’enseignement du sens de la soustraction et de la technique. Que cela réponde à une volonté d’aider les élèves ou non, avec le recul, il est assez aisé de prendre conscience de l’impact que cela peut avoir sur la compréhension et le raisonnement des élèves.
Je comprends, forcément, l’envie d’aider les élèves, notamment ceux qui rencontrent des difficultés de raisonnement ou de mathématiques. Pour ces élèves, cependant, il est tout aussi difficile de poser une soustraction que de chercher le complément à la dizaine supplémentaire.
Aider les élèves, c’est aussi faire preuve d’honnêteté intellectuelle. Il ne s’agit pas de supprimer la difficulté mais de la rendre accessible. Un élève dyscalculique ne pourra pas appliquer la méthode de calcul précédente. Il est préférable de lui épargner les calculs et de lui demander, uniquement, de trouver la bonne opération. L’élève qui ne sait pas reconnaître une soustraction a besoin d’être accompagné dans la schématisation, pas d’apprendre qu’une addition à trous fait l’affaire.
Et le calcul dans tout ça ?
Comme je le disais au début de cet article, les difficultés ne se cantonnent pas au raisonnement. Et, de plus en plus souvent, je me retrouve confrontée à des élèves qui ont l’impression de maîtriser la méthode qui leur a été enseignée et qui, pour autant, commettent des erreurs sur certaines opérations. Ce qui semble, à première vue, relever du hasard traduit, en réalité, un véritable problème dans la façon dont la méthode est aujourd’hui enseignée.
Il faut savoir qu’il existe deux méthodes pour le calcul de la soustraction avec retenue (puisque les autres ne posent pas problème) :
- La méthode par emprunt ou par compensation que les plus anciens d’entre nous connaissent : on « emprunte » une unité de la classe supérieure (dizaine ou centaine) pour faire le calcul et on la « rend » sur la ligne du dessous pour équilibrer :
- La méthode par cassage : on retire une unité de la classe supérieure (dizaine ou centaine) pour faire le calcul et la compensation est donc implicite et immédiate.
Cette deuxième méthode, plus largement enseignée aujourd’hui, fait sens avec la façon dont la numération est abordée en classe : les élèves actuels travaillent davantage la manipulation avec des cubes unités et des barres de dizaines.
Tout cela est très cohérent, me direz-vous, où est le problème ?
Construire sur des bases solides
Mon problème, puisque j’en ai bien un, en effet, est de constater que dans les feuilles d’exercices disponibles sur Internet, les calculs tombent toujours miraculeusement « bien », c’est-à-dire, comme dans le cas précédent.
Reprenons les attendus en Mathématiques :
- En fin de CE1, les élèves doivent pouvoir maîtriser les soustractions avec retenue sur les nombres à deux chiffres. Aucun risque d’avoir une dizaine ou une centaine nulle ;
- En fin de CE2, la soustraction doit être maîtrisée sans retenue sur les nombres à trois quatre chiffres. Aucun risque de se tromper ici encore.
Après cela, c’est plus flou :
- En fin de CM1, « l’algorithme de la soustraction doit être maîtrisé ».
D’accord, mais lequel ?
Qu’en est-il quand « il n’y a pas de dizaines ou de centaines à casser » comme ici ?
Je mets cette phrase entre guillemets car il y en a bien sûr toujours.
La difficulté pour les élèves qui n’ont jamais été confrontés à ce type de situations est de savoir comment réagir.
En CM1, la priorité est légitimement donnée à la division, aux fractions et aux nombres décimaux plutôt qu’à la soustraction. Mais à quel moment explique-t-on alors aux élèves comment faire ?
En voulant expliciter les choses, cette méthode les a rendues plus complexes pour de nombreux élèves.
Alors, il est vrai que dans la méthode par emprunt, on ne se souciait pas tellement de savoir si cela avait du sens pour l'élève.
Mécaniquement, on ajoutait la retenue dont on avait besoin et on compensait immédiatement - c’est le principe d’un algorithme.
Est-ce que je trouve cette méthode plus pertinente ? Pas forcément.
Je sais, en revanche, qu’il n’est pas écrit explicitement dans les attendus de CM1 que les élèves doivent savoir faire la distinction entre chiffre des et nombre de.
Or, c'est ici la clé de toute l’affaire. Combien de parents et d’enseignants sauront l’expliquer aux enfants ?
Ici, le nombre de centaines est 10. Ce n'est donc pas seulement le 0 qu'il faut barrer mais bien le 10 et en retirer une unité. Il reste 9 centaines. Ainsi, le calcul est juste.
